题目内容

九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践——应用——探究的过程
(1)实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量,测得隧道的路面宽为10米,隧道顶部最高处距地面6.25米,并画出了隧道截面图,建立了如图所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式
(2)应用:按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米,为了确保安全,问该隧道能否让最宽3米,最高3.5米的两辆车居中并列行驶(不考虑两车之间的空隙)?
(3)探究:该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
①如图,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在抛物线上,顶点A、B落在x轴上,设矩形ABCD的周长为为l,求l的最大值
②如图,过原点作一条直线y=x,交抛物线于M,交抛物线的对称轴于N,P为直线OM上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,问在直线OM上是否存在点P,使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
 
(1)y=-x2+x
(2)当x=2或x=8时
(3)(Ⅰ)AB="2x-10 " BC=y=-x2+x  l=-x2+9x-20=-(x-9)2
(Ⅱ)存在,这样的点有四个
∵P点在直线y=x上,设P(x,x),Q(x, -x2+x)
(A)  当∠P1Q1N=90°时,
Q点在OM的上方时,P1Q1=NQ1,P1Q1=-x2+x -x,NQ1=5-x
Q点在OM的下方时,P2Q2=NQ2,P2Q2= x-(-x2+x),NQ1="x" – 5
∴x2-x+5=0
∴P1(5+,5+)、P2(5-,5-)
(B)  当∠P3N Q3=90°时,过点Q3作Q3K⊥对称轴
当△NQ3K1为等腰直角三角形时,△NP3Q3为等腰直角三角形
Q点在OM的上方时,P3Q3=2Q3K1,P3Q3=-x2+x -x,Q3K1=5-x
Q点在OM的下方时,P4Q4=2Q4K2,P4Q4= x-(-x2+x),Q4K2=" x" – 5
∴x2-x+10=0
∴P3(4,4)、P4(10,10)解析:
练习册系列答案
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