题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B,C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.
【答案】
(1)DE= ?BC
(2)解:BF+BP= DE.理由如下:
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,
∴∠PDF=60°,DP=DF,
而∠CDB=60°,
∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB,
∴∠CDP=∠BDF,
在△DCP和△DBF中
,
∴△DCP≌△DBF(SAS),
∴CP=BF,
而CP=BC﹣BP,
∴BF+BP=BC,
∵DE= BC,
∴BC= DE,
∴BF+BP= DE;
(3)解:如图,
与(2)一样可证明△DCP≌△DBF,
∴CP=BF,
而CP=BC+BP,
∴BF﹣BP=BC,
∴BF﹣BP= DE.
【解析】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°,
∵点D是AB的中点,
∴DB=DC,
∴△DCB为等边三角形,
∵DE⊥BC,
∴DE= BC;
故答案为DE= BC.
(1)由∠ACB=90°,∠A=30°得到∠B=60°,根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC,则可判断△DCB为等边三角形,由于DE⊥BC,DE= BC;(2)根据旋转的性质得到∠PDF=60°,DP=DF,易得∠CDP=∠BDF,则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF,则CP=BF,利用CP=BC﹣BP,DE= BC可得到BF+BP= DE;(3)与(2)的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF,而CP=BC+BP,则BF﹣BP=BC,所以BF﹣BP= DE.
【题目】某弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系如下表:
所挂物体的质量/千克 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
弹簧的长度/厘米 | 10 | 10.4 | 10.8 | 11.2 | 11.6 | 12 |
(1)如果所挂物体的质量用x表示,弹簧的长度用y表示,请直接写出y与x满足的关系式.
(2)当所挂物体的质量为10千克时,弹簧的长度是多少?