题目内容

【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B,C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.

【答案】
(1)DE= ?BC
(2)解:BF+BP= DE.理由如下:

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,

∴∠PDF=60°,DP=DF,

而∠CDB=60°,

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB,

∴∠CDP=∠BDF,

在△DCP和△DBF中

∴△DCP≌△DBF(SAS),

∴CP=BF,

而CP=BC﹣BP,

∴BF+BP=BC,

∵DE= BC,

∴BC= DE,

∴BF+BP= DE;


(3)解:如图,

与(2)一样可证明△DCP≌△DBF,

∴CP=BF,

而CP=BC+BP,

∴BF﹣BP=BC,

∴BF﹣BP= DE.


【解析】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°,
∵点D是AB的中点,
∴DB=DC,
∴△DCB为等边三角形,
∵DE⊥BC,
∴DE= BC;
故答案为DE= BC.
(1)由∠ACB=90°,∠A=30°得到∠B=60°,根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC,则可判断△DCB为等边三角形,由于DE⊥BC,DE= BC;(2)根据旋转的性质得到∠PDF=60°,DP=DF,易得∠CDP=∠BDF,则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF,则CP=BF,利用CP=BC﹣BP,DE= BC可得到BF+BP= DE;(3)与(2)的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF,而CP=BC+BP,则BF﹣BP=BC,所以BF﹣BP= DE.

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