Question

（2013年四川自贡12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．

（1）将图①中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图②，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；

（2）在图②中，若AP₁=2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B₁C上取一点E，连接BE、P₁E，设BC=1，当BE⊥P₁B时，求△P₁BE面积的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解答：（1）证明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°。

∵在△B₁CQ和△BCP₁中，，

∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）。∴CQ=CP₁。

（2）如图，过点P₁作P₁D⊥CA于D，

∵∠A=30°，∴P₁D=AP₁=1。

∵∠P₁CD=45°，∴。.

∴CP₁=P₁D=。

又∵CP₁=CQ，∴CQ=。

（3）∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°。∴AC=、BC 。

由旋转的性质可得：∠ACP₁=∠BCE，∴△AP₁C∽△BEC。∴AP₁：BE=AC：BC=：1。

设AP₁=x，则BE=x，

在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2。

∴。

∵，∴当x=1时，S_{△P1BE（max）}=。

【解析】（1）先判断∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可证明△B₁CQ≌△BCP₁，从而得出结论。

（2）过点P₁作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，继而可得出CQ的长度。

（3）证明△AP₁C∽△BEC，则有AP₁：BE=AC：BC=：1，设AP₁=x，则BE=x，得出S_△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可。　

考点：旋转问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，二次函数最值。