题目内容
【题目】如图,直线l:y=x+m与x轴交于A点,且经过点B(﹣,2).已知抛物线C:y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点,恰为A点.
(1)求m的值及∠BAO的度数;
(2)求抛物线C的函数表达式;
(3)将抛物线C沿x轴左右平移,记平移后的抛物线为C1,其顶点为P.
平移后,将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否落在抛物线C1上?
如能,求出此时顶点P的坐标;如不能,说明理由.
【答案】(1)m=3,∠BAO=30°;(2)y=(x+3)2;(3)能,P的坐标为(21,0).
【解析】
试题分析:(1)将B的坐标代入直线l的解析式即可求出m的值,求出直线l的解析式后,设直线l与y轴交于点C,求出C的坐标后利用锐角三角函数即可求出∠BAO的度数;(2)由题意知:抛物线必定过(0,9),抛物线与x轴只有一个公共点A,即A点是抛物线的顶点,所以可以设抛物线的顶点式y=a(x+3)2,将(0,9)代入顶点式即可求出a的值;(3)设P的坐标为(h,0),由题意知,点P不能在A的左侧,所以点P在A的右侧,由于点P与D关于AB对称,且点D的坐标在抛物线C1上,所以求出D的坐标后,代入抛物线C1的解析式即可求出h的值.
试题解析:(1)把B(﹣,2)代入y=x+m,∴2=﹣1+m,∴m=3,∴直线l的解析式为y=x+3,设直线l与y轴交于点C,令x=0代入y=x+3,∴y=3,∴C的坐标为(0,3),令y=0代入y=x+3,∴x=﹣3,∴A的坐标为(﹣3,0),∴OC=3,OA=3,∴tan∠BAO==,∴∠BAO=30°;(2)令x=0代入y=ax2+bx+9,∴y=9,∴抛物线C经过(0,9),又∵抛物线C与x轴只有一个公共点,恰为A点,∴A点是抛物线C的顶点,设抛物线的顶点式为y=a(x+3)2,把(0,9)代入y=a(x+3)2,∴a=,∴抛物线C的解析式为y=(x+3)2;(3)设抛物线C1的解析式为y=(x﹣h)2,当点P在A的左侧时,点D一定不在抛物线C1上,此情况不符合题意,当点P在A的右侧时,此时,P(h,0)∴AP=h+3,由对称性可知:AD=AP=h+3,∠DAB=∠PAB=30°,过点D作DE⊥x轴于点E,∴AE=AD=,DE=AE=,∴D的坐标为(,),把D(,)代入y=(x﹣h)2,∴=()2,∴h=21或h=﹣3,当h=﹣3时,此时P与A重合,此情况不合题意,综上所述,P的坐标为(21,0).