Question

如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0）、B（0，-8）两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可求解；
（2）首先根据抛物线的顶点在圆上且与y轴平行即可确定抛物线的顶点坐标，再根据待定系数法求函数解析式；
（3）三角形ABC的面积为15，所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，所以P到DE的距离为1，则P的坐标是（x，1），代入抛物线解析式即可求解．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

-6k+b=0 b=-8

，
解得

k=- 4 3 b=-8

，
所以直线AB的解析式y=-

4

3

x-8；

（2）设抛物线的方程y=ax²+bx+c，
∵A（-6，0）、B（0，-8），
∴AB=10，
∴⊙M的半径为5，
∴M（-3，-4），
∵由函数图象可知抛物线的顶点在圆上，函数图象的对称轴与y轴平行，
∴抛物线的顶点C（-3，1），
且因抛物线的点对称性有一点与B点关于抛物线的轴对称为F（-6，-8），
由三点代入抛物线方程的a=-1，b=-6，c=-8．
所以y=-x²-6x-8；

（3）连接AC，BC，
根据（2）得：B（0，-8），
直线BC的解析式为：y=-3x-8，
∴点K（-

8

3

，0），
∴AK=6-

8

3

=

10

3

，
∴S_△ABC=S_△AKC+S_△ABK=

1

2

×

10

3

×1+

1

2

×

10

3

×8=15，
所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，
所以P到DE的距离为1．
当y=1时，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
当y=-1时，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+

2

，x₂=-3-

2

，
∴P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．
综上所述，这样的P点存在，
且有三个，P₁（-3，1），P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．

点评：本题主要考查了待定系数法求直线和抛物线的解析式，正确求得抛物线的解析式是解决本题的关键．