题目内容
【题目】如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)判断直线BE与抛物线交点的个数;
(3)求证:CD垂直平分BE;
(4)若P是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得△PBE是等腰直角三角形,且∠PEB=90°?若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵点B(﹣2,m)在直线上y=﹣2x﹣1上,
∴m=﹣2×(﹣2)﹣1=3,
∴B(﹣2,3).
∵抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,
∴点A的坐标为(4,0).
设所求的抛物线对应函数关系式为y=ax(x﹣4),
将点B(﹣2,3)代入上式,
3=﹣2a×(﹣2﹣4),解得:a= ,
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y= x(x﹣4)= x2﹣x
(2)
解:将y=﹣2x﹣1代入y= x2﹣x,得: x2﹣x=﹣2x﹣1,
整理得:x2+4x+4=0,
∴△=42﹣4×1×4=0,
∴直线BE与抛物线只有一个交点
(3)
解:证明:当x=2时,y=﹣2x﹣1=﹣5,
∴E(2,﹣5).
∵C(2,0),B(﹣2,3),
∴CE=0﹣(﹣5)=5,CB= =5,
∴CE=CB.
∵D(0,﹣1),B(﹣2,3),E(2,﹣5),
∴BD= =2 ,DE= =2 ,
∴BD=DE,
∴CD垂直平分BE
(4)
解:不存在,理由如下:
过点E作ME⊥BE交x轴于点M,过点B作BN⊥直线x=2于点N,如图所示.
∵B(﹣2,3),E(2,﹣5),
∴BN=2﹣(﹣2)=4,EN=3﹣(﹣5)=8,CE=0﹣(﹣5)=5.
∵∠BEN+∠EBN=90°,∠BEN+∠MEC=90°,
∴∠EBN=∠MEC,
∴△EBN∽△MEC,
∴ ,
∴MC=10,
∴M(12,0).
设直线EM的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将E(2,﹣5)、M(12,0)代入y=kx+b,
,解得: ,
∴直线EM的函数关系式为y= x﹣6.
将y= x﹣6代入y= x2﹣x,得: x2﹣x= x﹣6,
整理得:x2﹣6x+24=0,
∴△=(﹣6)2﹣4×1×24=﹣60<0,
∴直线EM与抛物线无交点,
∴不存在满足条件的点P.
【解析】(1)根据点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标,根据点O的坐标结合抛物线的对称轴即可找出点A的坐标,设抛物线的函数关系式为y=ax(x﹣4),代入点B的坐标求出a值即可;(2)将直线BE的函数关系式代入抛物线的函数关系式中可得出关于x的一元二次方程,由根的判别式△=0,即可得出直线BE与抛物线只有一个交点;(3)根据点E的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点E的坐标,结合点B、C的坐标利用两点间的距离公式,即可得出CE=CB,再根据点B、D、E的坐标利用两点间的距离公式,即可得出BD=DE,根据等腰三角形的三线合一即可证出CD垂直平分BE;(4)过点E作ME⊥BE交x轴于点M,过点B作BN⊥直线x=2于点N,则△EBN∽△MEC,根据相似三角形的性质即可找出点M的坐标,由点E、M的坐标利用待定系数法可求出直线EM的函数关系式,将其代入抛物线的函数关系式中可得出关于x的一元二次方程,由根的判别式△=﹣60<0,即可得出直线EM与抛物线无交点,由此得出不存在满足条件的点P.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
【题目】养成良好的早锻炼习惯,对学生的学习和生活非常有益某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况,校政教处在七年级随机抽取了部分学生,并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间分钟进行了调查现把调查结果分为A,B,C,D四组,如下表所示;同时,将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
组别 | 早锻炼时间 |
A | |
B | |
C | |
D |
请根据以上提供的信息,解答下列问题:
扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为______;
补全频数分布直方图;
已知该校七年级共有1200名学生,请你估计这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟.