Question

已知：二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；
（2）求证：函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）如果函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴相交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式？

Answer 1

分析：（1）本题需根据二次函数图象的顶点在x轴上得出4m²-4（n-1）=0，从而得出n-1＞0，证出抛物线开口向上．
（2）本题需先求出△的值，再证明△＞0即可得出函数的图象与x轴必有两个交点．
（3）本题需根据根与系数的关系列出式子，求出AB的长，列出方程求m²与n即可求出这个函数的解析式．

解答：（1）∵二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，
∴n-1≠0，△=4m²-4（n-1）=0．
∴m²=n-1≠0．
又∵m²≥0，∴n-1＞0．
∴这个函数图象的开口方向向上．
（2）∵m²≠0，
∴这个函数是二次函数．△=4（n-1）²+4m²．
∵m²=n-1≠0，∴（n-1）²＞0，m²＞0．
∴△＞0．
∴函数y=m²x²+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．
（3）由题意，得x1+x2=-

2(n-1)

m2

，x1x2=-

1

m2

．
∵m²=n-1，∴x1+x2=-

2(n-1)

m2

=-2．
而AB=|x₁-x₂|，点C的坐标为（0，-1）．
∴

1

2

|x1-x2|×1=2．
∴|x₁-x₂|=4．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2+

4

m2

=16．
∴m2=

1

3

．
∴n-1=

1

3

．
∴所求的函数解析式为y=

1

3

x2+

2

3

x-1．

点评：本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，在解题时要能根据二次函数的图象与x轴的交点列出式子求出答案是本题的关键．