Question

某同学按照如下步骤操作：
第一步，画一个圆，在圆的一条直径的两端点上分别标上数字1，把所得的每一个半圆周再二等分，并在两个半圆周的二等分点上分别标上2（如图1），
第二步，把已有的四条弧再二等分，并在每个二等分点上分别标上3（如图2），
第三步，把已有的八条弧再二等分，并在每个二等分点上分别标上4，…，
求一步之后圆周所有标数的四个点构成直角三角形的个数为

 

，求n步之后圆周所有标数的点构成直角三角形的个数为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：规律型

分析：首先根据题意求得一步之后、二步之后、三步之后圆周所有标数的四个点构成直角三角形的个数；然后找到规律：n步之后圆周所有标数的点构成直角三角形的个数为：2ⁿ（2ⁿ⁺¹-2）．

解答：解：∵一步之后（即第二步）圆周所有标数的四个点构成直角三角形的个数为：2×2=4（个）；
二步之后（即第三步）圆周所有标数的四个点构成直角三角形的个数为：4×6=24（个），
三步之后（即第四步）圆周所有标数的四个点构成直角三角形的个数为：8×14=112（个）；
∴n步之后圆周所有标数的点构成直角三角形的个数为：2ⁿ（2ⁿ⁺¹-2）．
故答案为：4；2ⁿ（2ⁿ⁺¹-2）．

点评：此题考查了圆周角定理．此题难度较大，注意得到规律：n步之后圆周所有标数的点构成直角三角形的个数为：2ⁿ（2ⁿ⁺¹-2）是解此题的关键．