题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN , 求出 的值,并求出此时点M的坐标.
【答案】
(1)
解:∵A(1,3 ),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx的图象上,
∴ ,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+4
x;
(2)
解:存在三个点满足题意,理由如下:
当点D在x轴上时,如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,
∵A(1,3 ),
∴D坐标为(1,0);
当点D在y轴上时,设D(0,d),则AD2=1+(3 ﹣d)2,BD2=42+d2,且AB2=(4﹣1)2+(3
)2=36,
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形,
∴AD2+BD2=AB2,即1+(3 ﹣d)2+42+d2=36,解得d=
,
∴D点坐标为(0, )或(0,
);
综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0, )或(0,
);
(补充方法:可用A,B点为直径作一个圆,圆与坐标轴的交点即为答案)
(3)
解:如图2,过P作PF⊥CM于点F,
∵PM∥OA,
∴Rt△ADO∽Rt△MFP,
∴ =
=3
,
∴MF=3 PF,
在Rt△ABD中,BD=3,AD=3 ,
∴tan∠ABD= ,
∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN= a,
在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,
∴tan∠PNF= =
,
∴FN= PF,
∴MN=MF+FN=4 PF,
∵S△BCN=2S△PMN,
∴ a2=2×
×4
PF2,
∴a=2 PF,
∴NC= a=2
PF,
∴ =
=
,
∴MN= NC=
×
a=
a,
∴MC=MN+NC=( +
)a,
∴M点坐标为(4﹣a,( +
)a),
又M点在抛物线上,代入可得﹣ (4﹣a)2+4
(4﹣a)=(
+
)a,
解得a=3﹣ 或a=0(舍去),
OC=4﹣a= +1,MC=2
+
,
∴点M的坐标为( +1,2
+
).
【解析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN , 可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得 的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质,需要了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
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