题目内容

已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x2-x-2，其顶点坐标是（
1
2
，-
9
4
）；

（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），
点N的坐标为N（h，-t），
则
0=2k+b
-
9
4
=
1
2
k+b
，
解它们组成的方程组得：
k=
3
2
b=-3
，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=
3
2
x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t=
3
2
h-3，
∴h=2-
2
3
t，
其中
1
2
＜h＜2，
∴s=
1
2
×1×2+
1
2
（2+t）（2-
2
3
t）=-
1
3
t2+
1
3
t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=-
1
3
t2+
1
3
t+3，
∵M点坐标是（
1
2
，-
9
4
）；
∴QN最大值为：
9
4
，
∴自变量的取值围是：0＜t＜
9
4
；

（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P1（
5
2
，
7
4
），P2（
3
2
，-
5
4
）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m2-m-2，PA2=（m+1）2+n2
PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠ACP=90°则AP2=PC2+AC2．
可得：m2+（n+2）2+（m+1）2+n2=5，
解得：m1=
5
2
，m2=-1（舍去）．
所以点P（
5
2
，
7
4
）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5
解得：m3=
3
2
，m4=0（舍去）．所以点P（
3
2
，-
5
4
）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P1（-1，-2），P2（-
1
5
，
2
5
）或
（
4
5
，-
8
5
）．
练习册系列答案
相关题目
如图（1），抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-4）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线L：y=kx+1（k≠0）将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，求直线L的解析式；
（3）如图（2），过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNT（点M、N、T分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C2的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线C2的解析式；
（3）直线y=-
3
5
x+m与抛物线C1、C2的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s，试用含m的代数式表示s．
已知：如图所示，一次函数有y=-2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象过点C，且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB=1：2，那么这二次函数的顶点坐标为______．
在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=
3
4
，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC，AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长是x，矩形APQR面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线上的一部分．
（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
已知抛物线y=-x2-3x+4和抛物线y=x2-3x-4相交于A，B两点．点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．
如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
问题背景：
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：s=-x2+
1
2
x（x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．
提出新问题：
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析问题：
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2(x+
1
x
)（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）的图象：
x…1/41/31/21234…
y…
17
2
20
3
545
20
3
17
2
…
（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=______时，函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）有最______值（填“大”或“小”），是______．
（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-x2+
1
2
x（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，x=(
x
)2〕

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