题目内容

问题背景:
若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为:s=-x2+
1
2
x
(x>0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题:
若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
分析问题:
若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:y=2(x+
1
x
)
(x>0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.
解决问题:
借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(小)值.
(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数y=2(x+
1
x
)
(x>0)的图象:
x1/41/31/21234
y
17
2
20
3
545
20
3
17
2
(2)观察猜想:观察该函数的图象,猜想当x=______时,函数y=2(x+
1
x
)
(x>0)有最______值(填“大”或“小”),是______.
(3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数s=-x2+
1
2
x
(x>0)的最大值,请你尝试通过配方求函数y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(小)值,以证明你的猜想.〔提示:当x>0时,x=(
x
)2
(1)当x=
1
4
时,y=2×(
1
4
+4)=
17
2

当x=
1
3
时,y=2×(
1
3
+3)=
20
3

当x=
1
2
时,y=2×(
1
2
+2)=5,
当x=1时,y=2×(1+1)=4,
当x=2时,y=2×(2+
1
2
)=5,
当x=3时,y=2×(3+
1
3
)=
20
3

当x=4时,y=2×(4+
1
4
)=
17
2

函数图象如右图:

(2)由(1)的计算结果和函数图象知:当x=1时,y=2(x+
1
x
)有最小值,且最小值为4.

(3)证明:∵x>0,且x=(
x
2
∴y=2(x+
1
x
)=2[(
x
2-2+(
1
x
2]+4=2(
x
-
1
x
2+4;
∴当
x
=
1
x
,即x=1时,函数y=2(x+
1
x
)有最小值,且最小值为4.
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