题目内容

【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若DF=3,DE=2 ①求 值;
②求图中阴影部分的面积.

【答案】
(1)证明:连接OD

∵OA=OD,∴∠1=∠2

∵∠1=∠3,∴∠2=∠3

∴OD∥AF

∵DF⊥AF,∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线


(2)证明:①解:连接BD

∵直径AB

∴∠ADB=90°

∵圆O与BE相切

∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°

∴∠DAB=∠DBE

∴∠DAB=∠FAD

∵∠AFD=∠BDE=90°

∴△BDE∽△AFD

②连接OC,交AD于G

由①,设BE=2x,则AD=3x

∵△BDE∽△ABE∴

解得:x1=2, (不合题意,舍去)

∴AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8

∴AB= ,∠1=30°

∴∠2=∠3=∠1=30°,∴∠COD=2∠3=60°

∴∠OGD=90°=∠AGC,∴AG=DG

∴△ACG≌△DOG,∴SAGC=SDGO

∴S阴影=S扇形COD=


【解析】(1)作辅助线,连接OD.根据切线的判定定理,只需证DF⊥OD即可;(2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得 ;②连接OC,交AD于G.由①,设BE=2x,则AD=3x.利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得 ,据此列出关于x的方程,解方程求得x=2,继而可以求出AD=3x=6,BE=2x=4,AE=AD+DE=8;然后由勾股定理知AB=4 ,在直角三角形ABE中求得∠1=30°;再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG,所以△ACG≌△DOG;最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和扇形面积计算公式的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形;扇形面积S=π(R2-r2)才能正确解答此题.

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