题目内容
【题目】如图，抛物线
交x轴于
，
两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作
轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作
，垂足为点N．设M点的坐标为
，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
，当
时，PN有最大值，最大值为
． （3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：
，
．
【解析】
（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；
（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．
解：（1）将
，
代入
，得
，解之，得
．
所以，抛物线的表达式为．
（2）由，得
．
将点、代入
，得
，解之，得
．
所以，直线BC的表达式为：
．
由
，得
，
．
∴
∵
，∴
．
∴
．
∴
．
．
∵
∴当时，PN有最大值，最大值为．
（3）存在，理由如下：由点，，知
．
①当
时，过Q作
轴于点E，易得
，
由
，得
，
（舍）
此时，点
；
②当
时，则
．
在
中，由勾股定理，得
．
解之，得
或
（舍）
此时，点；
③当
时，
由
，得
（舍）．
综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，
．
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【题目】欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
图形 |
|
|
|
|
顶点数V | 4 | 6 | 8 | |
棱数E | 6 | 12 | ||
面数F | 4 | 5 | 8 |
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
