Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．

（1）求一次函数解析式；
（2）求顶点P的坐标；
（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且 ，求点M坐标；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），

∴OA=1

∵OB=3OA，

∴B（0，3）

∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y=3x+3

（2）

解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于点B（0，3），

∴c=3，a=﹣1，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3

∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点P（1，4）

（3）

解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m

∵直线y=3x+m过P（1，4），

∴m=1，

∴平移后的直线为y=3x+1

∵M在直线y=3x+1，且

设M（x，3x+1）

①当点M在x轴上方时，有 ，

∴ ，

∴

②当点M在x轴下方时，有 ，

∴ ，

∴ ，

（4）

解：作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，

当﹣x2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3，

∴A（﹣1，0），

P点坐标为（1，4），

则可得PD解析式为：y=2x+2，

根据ND′⊥PD，

设ND′解析式为y=kx+b，

则k=﹣ ，

将D′（2，2）代入即可求出b的值，

可得函数解析式为y=﹣ x+3，

将两函数解析式组成方程组得： ，

解得 ，

故N（ ， ），

由两点间的距离公式：d= = ，

∴所求最小值为

【解析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．