题目内容
请尝试解决以下问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，
由旋转可得：AB="AD,BG=DE," ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长．
（3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，在旋转过程中，等式BD
+CE=DE始终成立，请说明理由．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，
由旋转可得：AB="AD,BG=DE," ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长．
（3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，在旋转过程中，等式BD
+CE=DE始终成立，请说明理由．解：(1)EAF、△EAF、GF
(2) 过A作AG⊥BC，交BC延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C＝∠D＝90°，
又∠CGA＝90°，AD＝CD，
∴四边形AGCD为正方形．
∴CG＝AD＝10．
已知∠BAE＝45°，
根据（1）可知，BE＝GB＋DE．
设BE＝x，则BG＝x－4，
∴BC＝14－x．
在Rt△BCE中， ∵
，即
．
解这个方程，得：x＝
．
∴BE＝．
（3）证明:如下图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置，
则CE=HB,AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH，∠HAD="∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD," AD=AD.
∴∆EAD≌∆HAD ∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD+HB=DH
即BD+CE=DE
(2) 过A作AG⊥BC，交BC延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C＝∠D＝90°，
又∠CGA＝90°，AD＝CD，
∴四边形AGCD为正方形．
∴CG＝AD＝10．
已知∠BAE＝45°，
根据（1）可知，BE＝GB＋DE．
设BE＝x，则BG＝x－4，
∴BC＝14－x．
在Rt△BCE中， ∵
，即． 解这个方程，得：x＝
．∴BE＝
． （3）证明:如下图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置，
则CE=HB,AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH，∠HAD="∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD," AD=AD.
∴∆EAD≌∆HAD ∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD
+HB=DH即BD
+CE=DE （1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；
（3）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．
（2）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；
（3）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．
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