题目内容
如图，已知C是线段AB上的一个动点（不与端点重合），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①MN∥AB；②| 1 |
| MN |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| BC |
| 1 |
| 4 |
分析：（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴
=
①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴
=
②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴
=
∴MN∥AB，故本小题正确；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴
=
，
设
=
=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴
=
=
=
，
=
=
，
∴
+
=1，
∴
=
+
，故本小题正确；
（3）∵
=
+
，
∴MN=
=
，
设AB=a（常数），AC=x，则MN=
x（a-x）=-
（x-
a）2+
a≤
a，故本小题错误．
故选C．
∴△CND∽△ENB，∴
| CN |
| NE |
| DC |
| BE |
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴
| AM |
| ME |
| AD |
| CE |
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴
| CN |
| NE |
| AM |
| ME |
∴MN∥AB，故本小题正确；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴
| CN |
| NE |
| DN |
| NB |
设
| CN |
| NE |
| DN |
| NB |
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴
| MN |
| AC |
| NE |
| CE |
| NE |
| NE+CN |
| 1 |
| k+1 |
| MN |
| BC |
| DN |
| DB |
| k |
| k+1 |
∴
| MN |
| AC |
| MN |
| BC |
∴
| 1 |
| MN |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| BC |
（3）∵
| 1 |
| MN |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| BC |
∴MN=
| AC•BC |
| AC+BC |
| AC•BC |
| AB |
设AB=a（常数），AC=x，则MN=
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
故选C．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用．
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| A、AD-BD | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、AD-
|
（2012•宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1