题目内容
【题目】某产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为w万元.(毛利润=销售额-生产费用)
(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;
(2)求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少?
(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?
【答案】(1), ;(2)W=,年产量为75万件时毛利润最大,最大毛利润为1125万元;(3)1080万元
【解析】(1)先设出函数解析式,再通过待定系数法即可得出函数解析式;(2)根据“毛利润=销售额-生产费用”可求出w与x之间的函数关系式,再通过顶点坐标可得出年产量的值及最大的毛利润;(3)由y=360,得出x的值,再通过关于w的二次函数的增减性即可得出答案.
解:(1),
(2)W=
=
=
=
∵<0,
∴当x=75时,W有最大值1125
∴年产量为75万件时毛利润最大,最大毛利润为1125万元
(3)令y=360,得,解得x=±60(负值舍去)
由图象可知,当0<y≤360时,0<x≤60
由W=的性质可知,
当0<x≤60时,W随x的增大而增大
∴当x=60时,W有最大值1080
∴今年最多可获得毛利润1080万元
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