题目内容
【题目】如图，AB是⊙O的直径，射线AM经过⊙O上的点E，弦AC平分∠MAB，过点C作CD⊥AM，垂足为D．
（1）请用尺规作图将图形补充完整，不写作法，保留痕迹，并证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝8， 
，求弦AE的长．
【答案】（1）作图及证明见解析；（2）4
【解析】（1）以C为圆心，大于C到AM的距离为半径作弧分别与AM有两个交点，以这两个交点分别为圆心，以大于这两个交点长的一半为半径作弧，两弧交点一点，过这一点及点D即可得到AM的垂线，连接OC，证∠OCD＝90°即可说明CD是⊙O的切线；（2）作OF⊥AM，得矩形OCDF，可求出OF的值，再通过勾股定理和垂径定理即可求出AE的长.
解：（1）作图正确，痕迹明显
证明：连接OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA
∵AC平分∠MAB，∴∠OAC＝∠MAC
∴∠OCA＝∠MAC，∴AM∥OC
∵CD⊥AM，垂足为D，∴∠CDM＝90°
∴∠OCD＝∠CDM＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线
（2）作OF⊥AM，垂足为F，
则AF＝EF，四边形OCDF是矩形
∴
在Rt△AOF中，∵
∴
∴AE＝2AF＝4
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