题目内容

【题目】如图,P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,过点PPEBC于点E,PFCD于点F,连接EF.给出以下4个结论:①FPD是等腰直角三角形;②AP=EF;

AD=PD;④∠PFE=BAP.其中,所有正确的结论是(  )

A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④

【答案】C

【解析】如图,

P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,

PA=PC,C=90°,

∵过点PPEBC于点E,PFCD,

∴∠PEC=DFP=PFC=C=90°,

∴四边形PECF是矩形,

PC=EF,

PA=EF,故②正确,

BD是正方形ABCD的对角线,

∴∠ABD=BDC=DBC=45°,

∵∠PFC=C=90°,

PFBC,

∴∠DPF=45°,

∵∠DFP=90°,

FPD是等腰直角三角形,故①正确,

PABPCB中,

PABPCB,

∴∠BAP=BCP,

在矩形PECF中,∠PFE=FPC=BCP,

∴∠PFE=BAP.故④正确,

∵点P是正方形对角线BD上任意一点,

AD不一定等于PD,

只有∠BAP=22.5°时,AD=PD,故③错误,

故选C

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