题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G,给出以下五个结论:
①∠B=∠C=45°;
②AE=CF,
③AP=EF,
④△EPF是等腰直角三角形,
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半.
其中正确的结论是( )
A.只有① B.①②④ C.①②③④ D.①②④⑤
【答案】D
【解析】
试题分析:根据等腰直角三角形的性质得:∠B=∠C=45°,AP⊥BC,AP=BC,AP平分∠BAC.所以可证∠C=∠EAP;∠FPC=∠EPA;AP=PC.即证得△APE与△CPF全等.根据全等三角形性质判断结论是否正确,根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等,然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半.
解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴①∠B=∠C=×(180°﹣90°)=45°,AP⊥BC,AP=BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C,
∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°,
∴∠FPC=∠EPA.
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴②AE=CF;④EP=PF,即△EPF是等腰直角三角形;同理可证得△APF≌△BPE,
∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半,
∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,
∴AP=BC,
∵EF不是△ABC的中位线,
∴EF≠AP,故③错误;
④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°,
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°,
∴∠AEP=∠AGF.
故正确的有①、②、④、⑤,共四个.
因此选D.