题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC,BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G,给出以下五个结论:

B=C=45°;

②AE=CF,

③AP=EF,

EPF是等腰直角三角形,

⑤四边形AEPF的面积是ABC面积的一半.

其中正确的结论是( )

A.只有① B.①②④ C.①②③④ D.①②④⑤

【答案】D

【解析】

试题分析:根据等腰直角三角形的性质得:B=C=45°,APBC,AP=BC,AP平分BAC.所以可证C=EAP;FPC=EPA;AP=PC.即证得APE与CPF全等.根据全等三角形性质判断结论是否正确,根据全等三角形的面积相等可得APE的面积等于CPF的面积相等,然后求出四边形AEPF的面积等于ABC的面积的一半.

解:AB=AC,BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC的中点,

B=C=×(180°﹣90°)=45°,APBC,AP=BC=PC,BAP=CAP=45°=C,

∵∠APF+FPC=90°,APF+APE=90°,

∴∠FPC=EPA.

∴△APE≌△CPF(ASA),

②AE=CF;④EP=PF,即EPF是等腰直角三角形;同理可证得APF≌△BPE,

⑤四边形AEPF的面积是ABC面积的一半,

∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,

AP=BC,

EF不是ABC的中位线,

EFAP,故③错误;

∵∠AGF=EGP=180°﹣APE﹣PEF=180°﹣APE﹣45°,

AEP=180°﹣APE﹣EAP=180°﹣APE﹣45°,

∴∠AEP=AGF.

故正确的有①、②、④、⑤,共四个.

因此选D.

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