Question

【题目】给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．

（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．

Answer 1

【答案】
（1）

∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，

∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．

∵B与A关于原点对称，

∴0=xA+xB= ，

∴k=1．

∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，

∴顶点（﹣ ，1﹣ ）在y=x上，

∴﹣ =1﹣ ，

解得 a=﹣ ．

（2）

①解：∵无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点，

∴k=1时，k=2时，直线l′与抛物线C都只有一个交点．

当k=1时，l′：y=x+2，

∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，

∵△=（b﹣1）2+4a=0，

∴（b﹣1）2+4a=0，

当k=2时，l′：y=2x+5，

∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，

∵△=（b﹣2）2+16a=0，

∴（b﹣2）2+16a=0，

∴联立得关于a，b的方程组 ，

解得 或 ．

∵l′：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，

∴△=（b﹣k）2+4ak2．

当 时，△=（﹣k）2+4×（﹣ ）k2=k2﹣k2=0，故无论k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．

当 时，△=（ ﹣k）2+4×（﹣ ）k2= k2﹣ k+ ，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．

∴C：y=﹣ x2+1．

②证明：根据题意，画出图象如图1，

由P在抛物线y=﹣ x2+1上，设P坐标为（x，﹣ x2+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，

∵PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，

∴OP= = = = x2+1，

PQ=2﹣yP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1，

∴OP=PQ．

【解析】（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很适用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值．（2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线l′：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△=（b﹣k）2+4ak2=0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=（b﹣k）2+4ak2中，若不能使其结果为0，则应舍去．
②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=﹣ x2+1上，则可设其坐标为（x，﹣ x2+1），进而易求OP，PQ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．