题目内容
如图，已知AC切⊙O于C点，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点，若AC=PC．
求证：（1）BD=2BP；（2）PC=3BP．
求证：（1）BD=2BP；（2）PC=3BP．
证明：（1）连接OD，
∵D、C是切点，PC是直径，OD是半径，
∴∠BDO=∠ACB=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，（1分）
∴
=
，
∵AC=PC=2OD，
∴BD=
BC．①（2分）
又BD2=BP•BC，②（3分）
②÷①，得BD=2BP．（4分）
（2）由BD2=BP•BC，
又∵BC=BP+PC，BD=2BP，
∴4BP2=BP（BP+PC），（5分）
∴4BP=BP+PC，
∴PC=3BP．（6分）
∵D、C是切点，PC是直径，OD是半径，
∴∠BDO=∠ACB=90°，
又∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，（1分）
∴
| BD |
| BC |
| OD |
| AC |
∵AC=PC=2OD，
∴BD=
| 1 |
| 2 |
又BD2=BP•BC，②（3分）
②÷①，得BD=2BP．（4分）
（2）由BD2=BP•BC，
又∵BC=BP+PC，BD=2BP，
∴4BP2=BP（BP+PC），（5分）
∴4BP=BP+PC，
∴PC=3BP．（6分）
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