题目内容
如图,△ABC为圆O的内接三角形,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于E,AE=2,ED=4.
(1)求证:△ABE∽△ADB,并求AB的长;
(2)延长DB到F,使BF=BO,连接FA,那么直线FA与⊙O相切吗?为什么?
(1)求证:△ABE∽△ADB,并求AB的长;
(2)延长DB到F,使BF=BO,连接FA,那么直线FA与⊙O相切吗?为什么?
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠C=∠D,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB,(3分)
∴
=
,
∴AB2=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12,
∴AB=2
.(5分)
(2)直线FA与⊙O相切.(6分)
理由如下:
连接OA,
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°,
∴BD=
=
=
=4
,
∴BF=BO=
BD=
×4
=2
.
∵AB=2
,
∴BF=BO=AB,
∴∠OAF=90°.
∴直线FA与⊙O相切.(8分)
∴∠ABC=∠C.
∵∠C=∠D,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB,(3分)
∴
AB |
AD |
AE |
AB |
∴AB2=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12,
∴AB=2
3 |
(2)直线FA与⊙O相切.(6分)
理由如下:
连接OA,
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°,
∴BD=
AB2+AD2 |
12+(2+4)2 |
48 |
3 |
∴BF=BO=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∵AB=2
3 |
∴BF=BO=AB,
∴∠OAF=90°.
∴直线FA与⊙O相切.(8分)
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