题目内容

【题目】如图,抛物线x轴交于A(﹣40)、B20)两点,与y轴交于CM为此抛物线的顶点.

1)求此抛物线的函数解析式;

2)动直线l从与直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针旋转,与直线AB重合时终止运动,直线lBC交于点DP是线段AD的中点.

①直接写出点P所经过的路线长为   

②点DBC不重合时,过点DDEAC于点E,作DFAB于点F,连接PEPFEF,在旋转过程中,求EF的最小值;

3)将抛物线C1平移得到抛物线C2,已知抛物线C2的顶点为N,与直线AC交于EF两点,若EFAC,求直线MN的解析式.

【答案】1y=﹣x2x+4;(2)①;②;(3yx+

【解析】

1)将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题;
2)①易得点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2,只需运用勾股定理求出BC长,然后运用三角形中位线定理就可解决问题;②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PA=PD=PF,由此可得点AEDF在以点P为圆心,为半径的圆上,根据圆周角定理可得∠EPF=2EAF.易得∠EAF=45°,则有∠EPF=90°,根据勾股定理可得,根据点到直线之间垂线段最短可得当ADBC时,AD最小,此时EF最小,然后只需运用面积法求出此时AD的值,即可得到EF的最小值;
3)运用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=x+4,由EF=AC可得MNAC,从而可设直线MN的解析式为y=x+t,然后只需求出抛物线的顶点M的坐标,把点M的坐标代入y=x+t即可解决问题.

解:(1)∵抛物线 x轴交于A(﹣40)、B20)两点,

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2x+4

2)①在RtBOC中,

∵点D是线段BC一点,P是线段AD的中点,

∴点P运动的路径是ABC的中位线P1P2,如图1

故答案为:

②如图2

DEACDFABP是线段AD的中点,

PEPAPDPF

∴点AEDF在以点P为圆心,为半径的圆上,

∴∠EPF2EAF

OAOC4,∠AOC90°

∴∠CAO=∠ACO45°

∴∠EPF90°

根据点到直线之间,垂线段最短可得:

ADBC时,AD最小,此时EF最小,

此时,

解得:

此时

EF的最小值为

3)如图3

设直线AC的解析式为ymx+n

则有

解得:

∴直线AC的解析式为yx+4

EFAC可得MNAC

可设直线MN的解析式为yx+t

∵点M是抛物线的顶点,

∴点M的坐标为(﹣1 ),

M(﹣1)代入yx+t,得

1+t

解得t

∴直线MN的解析式为yx+

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