题目内容
【题目】如图,抛物线与x轴交于A(﹣4,0)、B(2,0)两点,与y轴交于C,M为此抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针旋转,与直线AB重合时终止运动,直线l与BC交于点D,P是线段AD的中点.
①直接写出点P所经过的路线长为 ;
②点D与B、C不重合时,过点D作DE⊥AC于点E,作DF⊥AB于点F,连接PE、PF、EF,在旋转过程中,求EF的最小值;
(3)将抛物线C1平移得到抛物线C2,已知抛物线C2的顶点为N,与直线AC交于E、F两点,若EF=AC,求直线MN的解析式.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4;(2)①;②;(3)y=x+
【解析】
(1)将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题;
(2)①易得点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2,只需运用勾股定理求出BC长,然后运用三角形中位线定理就可解决问题;②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=PA=PD=PF,由此可得点A、E、D、F在以点P为圆心,为半径的圆上,根据圆周角定理可得∠EPF=2∠EAF.易得∠EAF=45°,则有∠EPF=90°,根据勾股定理可得,根据“点到直线之间垂线段最短”可得当AD⊥BC时,AD最小,此时EF最小,然后只需运用面积法求出此时AD的值,即可得到EF的最小值;
(3)运用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=x+4,由EF=AC可得MN∥AC,从而可设直线MN的解析式为y=x+t,然后只需求出抛物线的顶点M的坐标,把点M的坐标代入y=x+t即可解决问题.
解:(1)∵抛物线 与x轴交于A(﹣4,0)、B(2,0)两点,
∴ ,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4;
(2)①在Rt△BOC中,
.
∵点D是线段BC一点,P是线段AD的中点,
∴点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2,如图1,
则.
故答案为:;
②如图2,
∵DE⊥AC,DF⊥AB,P是线段AD的中点,
∴PE=PA=PD=PF,
∴点A、E、D、F在以点P为圆心,为半径的圆上,
∴∠EPF=2∠EAF.
∵OA=OC=4,∠AOC=90°,
∴∠CAO=∠ACO=45°,
∴∠EPF=90°,
∴.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:
当AD⊥BC时,AD最小,此时EF最小,
此时,,
解得:,
此时,
则EF的最小值为;
(3)如图3,
设直线AC的解析式为y=mx+n,
则有 ,
解得: ,
∴直线AC的解析式为y=x+4.
由EF=AC可得MN∥AC.
可设直线MN的解析式为y=x+t.
∵点M是抛物线的顶点,
∴点M的坐标为(﹣1, ),
把M(﹣1,)代入y=x+t,得
﹣1+t=,
解得t=,
∴直线MN的解析式为y=x+.