题目内容
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．
分析：（1）作辅助线：连接AD，利用等腰三角形中的三线合一，即可证得AD=BD=DC=
BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，证得∠5=∠4，则可得△BDE≌△ADF，则AF=BE；
（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF2=BE2+FC2；
（3）可证得有两角对应相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函数即可求得比值．
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（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF2=BE2+FC2；
（3）可证得有两角对应相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函数即可求得比值．
解答：
（1）结论：AF=BE．
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC=
BC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．
∴∠3+∠5=90°．
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5=∠4，
∵BD=AD，
∴△BDE≌△ADF．
∴BE=AF．
（2）根据（1）可得BE=AF，
所以AB-BE=AC-AF，
即AE=FC，
∵∠BAC=90°，
∴EF2=AF2+AE2，
∴EF2=BE2+FC2．
（3）（1）中的结论BE=AF不成立
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，
∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°
∴∠B=∠2，∠5=∠4．
∴△BDE∽△ADF．
∴
=
=tan30°=
．
（1）结论：AF=BE．证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC=
| 1 |
| 2 |
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．
∴∠3+∠5=90°．
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5=∠4，
∵BD=AD，
∴△BDE≌△ADF．
∴BE=AF．
（2）根据（1）可得BE=AF，
所以AB-BE=AC-AF，
即AE=FC，
∵∠BAC=90°，
∴EF2=AF2+AE2，
∴EF2=BE2+FC2．
（3）（1）中的结论BE=AF不成立
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，
∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°
∴∠B=∠2，∠5=∠4．
∴△BDE∽△ADF．
∴
| AF |
| BE |
| AD |
| BD |
| ||
| 3 |
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．此题图形变化很多，而且图形复杂，属于中等难度的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．
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