Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在第一象限，∠OBA=90°，AB=4，OB=3，点M是线段OB上的动点，（不与O，B重合），过点M作MN∥OA交AB于点N，以BM，BN为一组邻边作矩形BMDN，设BM=t．
（1）求点B的坐标；
（2）在图（2）中，当t为何值时，点D落在x轴上，并求此时直线BD的表达式；
（3）动点M在运动过程中，记△MND与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可过B作x轴的垂线，设垂足为E，在直角三角形OBE中，用∠BOE的三角函数值即可求出B点的坐标．
（2）当D落在x轴上时，M为OB的中点，D为OA的中点（根据中位线定理可得出），因此OM=BM=3，即t=1.5；OD=AD=

5

2

，即D（

5

2

，0）．进而可用待定系数法求出直线BD的解析式．
（3）本题要分两种情况：
①当D点在三角形OAB内部时，重合部分是三角形MND，由于三角形BMN的面积和三角形MND的面积相同，因此可通过求三角形BMN的面积来得出S，t的函数关系式．
而当D在三角形OAB外部时，即当1.5＜t＜3时，如果设DM，DN与x轴的交点为G、H的话，那么重合部分的面积可用三角形BMN的面积减去三角形DGH的面积来求得．据此可得出S，t的函数关系式．

解答：解：
（1）过B作BE⊥OA于E，
在三角形OBE中，sin∠BOE=

AB

AO

=

4

5

，cos∠BOE=

OB

OA

=

3

5

，OB=3，
∴OE=

9

5

，BE=

12

5

；即B（

9

5

，

12

5

）．

（2）当D落在x轴上时，M为OB的中点，因此OM=MB=

3

2

，即t=1.5．
∵DM⊥OB，AB⊥OB，∴DM∥AB，
∵OM=BM，∴OD=AD，因此D（

5

2

，0），又由（1）知：B（

9

5

，

12

5

），
∴直线BD的解析式为y=-

24

7

x+

60

7

．

（3）当0＜t≤1.5时，S=

2

3

t²；
当1.5＜t＜3时，s=-2t²+8t-6．

点评：本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数的应用等知识．
综合性强，考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．