题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.

(1)求证:△ACD∽△BFD;
(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.

【答案】
(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,

∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,

∴∠DBF=∠DAC,

∴△ACD∽△BFD.


(2)解:∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°

=1,

∴AD=BD,

∵△ACD∽△BFD,

= =1,

∴BF=AC=3.


【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质,属于中考常考题型.(1)由∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,推出∠DBF=∠DAC,由此即可证明.(2)先证明AD=BD,由△ACD∽△BFD,得 = =1,即可解决问题.

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