Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为     　．

Answer 1

解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）。
设抛物线的函数表达式为，
将A（1，0）代入得：，解得。
∴抛物线的函数表达式为，即。
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

由（1）抛物线解析式为，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3）。
∴。
∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB。∴PA+PC=PB+PC。此时，PB+PC=BC。
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC。
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=。
（3）（2，﹣1）。

试题分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0），所以设抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可求得h，得到抛物线的函数表达式。
（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。
（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线的顶点坐标，即（2，﹣1）。