题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,4)在 y 轴上,点 B(b,0)是 x 轴上一动点,且 4< b <4,△ABC 是以 AB 为直角边,B 为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求点 C 的坐标(用含 b 的式子表示);
(2)以 x 轴为对称轴,作点 C 的对称点 C 连接 BC、AC,请把图形补充完整,并求出△ABC的面积(用含 b 的式子表示);
(3)点 B 在运动过程中, OAC 的度数是否发生变化,若变化请说明理由;若不变化,请直接 写出 OAC 的度数.
【答案】(1)点;(2)
;(3)不变化,
.
【解析】
(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,由题意可证△ABO≌△BCE,可得BE=OA=4,BO=EC=-b,则OE=4+b,即求点C的坐标;
(2)根据题意补全图形,根据S△ABC'=S△ABO+S梯形AOEC'-S△BEC'=×(-b)×4+
×(4-b)(4+b)-
×4×(-b),可求△ABC′的面积;
(3)过点A作AF⊥EC',垂足为F,可证四边形AOEF是矩形,可得AO=EF=4,OE=AF=4+b,可证AF=C'F=4+b,可得∠FAC'=45°,且∠OAF=90°,可求∠OAC'=45°.
(1)如图,过点C作CE⊥x轴,垂足为E,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∵∠ABE+∠CBE=90°,∠CBE+∠BCE=90°,
∴∠ABE=∠BCE,且AB=BC,∠AOB=∠BEC=90°,
∴△ABO≌△BCE(AAS)
∴BO=CE,AO=BE,
∵点A(0,4),点B(b,0),且-4<b<0,
∴BE=OA=4,BO=EC=-b,
∴OE=4+b
∴点C坐标(4+b,b)
(2)根据题意画出图形,如下图,
∵点C与点C'关于x轴对称,
∴点C'(4+b,-b),C'C⊥x轴,
∵S△ABC'=S△ABO+S梯形AOEC'-S△BEC'=×(-b)×4+
×(4-b)(4+b)-
×4×(-b),
∴S△ABC'=8-b2,
(3)点B在运动过程中,∠OAC′的度数不发生变化,
理由如下:如图,过点A作AF⊥EC',垂足为F,
∵AF⊥EC',EC'⊥BE,AO⊥OE,
∴四边形AOEF是矩形,
∴AO=EF=4,OE=AF=4+b,
∵C'F=EF-EC'=4-(-b)=4+b,
∴AF=C'F,且∠AFE=90°,
∴∠FAC'=45°,且∠OAF=90°,
∴∠OAC'=45°
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