Question

如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
（1）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值．
（参考数据：

10

≈3.162，

676

=26）

Answer 1

分析：（1）连接OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，可求得AP、OB，再根据勾股定理得出OP，可证明△APC∽△OPB，根据相似三角形的对应边的比相等可求出AC，即可判断出直线OP与⊙A的位置关系；
（2）分两种情况进行讨论，
①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时）；则BP=a，AP=5.5-a，
②当点P在点A的右侧时；则BP=a，AP=a-5.5，
可证出△APH∽△OPB，则

AP

OP

=

AH

OB

，代入即可求得a的值．

解答：解：（1）连接OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，
则AP=PB-AB=12-5.5=6.5，OB=4，OP=

122+42

=4

10

，∵∠ACP=∠OBP=90°，∠APC=∠OPB
∴△APC∽△OPB，∴

AC

OB

=

AP

OP

，∴

AC

4

=

6.5

4 10

，∴AC=

13 10

20

≈2.06＞2
∴直线OP与⊙A相离．

（2）设直线OP与⊙A相切于点H
分两种情况
①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示
BP=a，AP=5.5-a，
∵∠APH=∠OPB，∠AHP=∠OBP=90°，∴△APH∽△OPB，∴

AP

OP

=

AH

OB

，∴

5.5-a

OP

=

2

4

得OP=11-2a
在Rt△OBP中，（11-2a）²=a²+4²
解得a₁=3，a₂=

35

3

（舍去）
②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示
BP=a，AP=a-5.5，同理得△APH∽△OPB，∴

AP

OP

=

AH

OB

，∴

a-5.5

OP

=

2

4

得OP=2a-11
在Rt△OBP中，（2a-11）²=a²+4²
解得a₁=3（舍去），a₂=

35

3

∴当直线OP与⊙A相切时，a的值为3或

35

3

点评：本题是一道综合题，考查了直线和圆的位置关系、相似三角形的判定和性质以及切线的判定和性质，是中考压轴题，难度偏大．