Question

如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5，4），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动．
（1）当点P在圆上时，写出点P的坐标；
（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值（参考数据：

10

≈3.162，

676

=26）

Answer 1

分析：（1）当P在A的左边且P在圆上时，BP=AB-AP=5.5-2=3.5，即为P的横坐标，再由P的纵坐标与A的纵坐标相等，都为OB的长，确定出此时P的坐标；当P在A的右边且P在圆上时，BP=AB+AP=5.5+2=7.5，即为P的横坐标，再由P的纵坐标与A的纵坐标相等，都为OB的长，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标；
（2）过A作AD垂直于OP，再由OB垂直于BP，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APD与三角形OPB相似，根据相似得比例，将各自的值代入求出AD的长，与半径r=2比较大小，即可判断出直线OP与圆A的位置关系；
（3）根据题意画出相应的图形，发现与圆A相切时，P的位置有两处，设切点为E，连接AE，由切线的性质得到OP与AE垂直，再由OB垂直于BP，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APE与三角形POB相似，根据相似得比例，将各自的值代入列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为当直线OP与⊙A相切时a的值．

解答：解：（1）P的坐标为（3.5，4）或（7.5，4）；…（2分）

（2）直线OP与⊙A相离．理由如下：
作AD⊥OP于D，如图所示：
可得∠ADP=90°，
又∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，又∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，…（3分）
又PA=PB-AB=12-5.5=6.5，OB=4，
在直角三角形OBP中，OB=4，BP=12，
根据勾股定理得：OP=

OB2+BP2

=4

10

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，即

6.5

4 10

=

AD

4

，
解得：AD=

13 10

20

，…（5分）
∵

10

≈3.162，
∴AD＞2=r，
∴直线OP与⊙A相离；…（7分）

（3）OP与⊙A切于E，连接AE，可得AE⊥OP，
∴∠AEP=∠OBP=90°，又∠APE=∠OPB，
∴△PAE∽△POB，…（9分）
又PA=|AB-BP|=|a-5.5|，AE=2，OB=4，
在直角三角形OBP中，OB=4，BP=a，
根据勾股定理得：OP=

OB2+BP2

=

42+a2

，
∴

PA

OP

=

AE

OB

，即

|a-5.5|

42+a2

=

2

4

，
解得：a₁=

35

3

，a₂=3，…（12分）
则当a=

35

3

或a=3时，OP与⊙A相切．…（13分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，直线与圆的位置关系可以由d与r的大小来判断（r表示圆的半径，d表示圆心到直线的距离），当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．