Question

（2013•葫芦岛一模）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．
①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
②当0°＜∠A＜

120

°时，上述结论成立；当

120

°≤∠A＜180°时，上述结论不成立．

Answer 1

分析：（1）求出AM=AD，得到△ADM是等腰直角三角形，然后求出∠BMD与∠ADM的度数，从而得解；
（2）①连接CM，取CE的中点F，连接MF，交DC于N，根据平行线分线段成比例定理可得MF∥AE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEM=∠1，∠2=∠4，再根据AB=2BC，M是AB的中点，利用等边对等角的性质求出∠3=∠4，根据三角形三线合一的性质求出∠1=∠2，从而得解；
②求出当点E与点A重合时的∠A的度数，即为临界值，小于临界值，点E在射线AD上，成立，否则不成立．

解答：解：（1）∵AB=2BC，M是AB的中点，
∴AD=BC=AM，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠ADM=45°，∠BMD=180°-∠AMD=180°-45°=135°，
∴∠BMD=3∠ADM；

（2）①如图，连接CM，取CE的中点F，连接MF，交DC于N，
∵M是AB的中点，
∴MF∥AE∥BC，
∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，
∵AB=2BC，
∴BM=BC，
∴∠3=∠4．
∵CE⊥AE，
∴MF⊥EC，
又∵F是EC的中点，
∴ME=MC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠BME=3∠AEM；

②当点E与点A重合时，∵CE⊥AD，AB=2BC，
∴∠B=60°，
∴∠A=180°-∠B=180°-60°=120°，
所以，当0°＜∠A＜120°时，结论成立；
当120°≤∠A＜180°时，结论不成立．

点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质以及平行线的性质，（2）比较复杂，作出辅助线，把∠BME分成相等的三个角是解题的关键．