题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,AB=AC=10,线段BC在轴上,BC=12,点B的坐标为(﹣3,0),线段AB交y轴于点E,过A作AD⊥BC于D,动点P从原点出发,以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动,设运动的时间为t秒.
(1)点E的坐标为( , );
(2)当△BPE是等腰三角形时,求t的值;
(3)若点P运动的同时,△ABC以B为位似中心向右放大,且点C向右运动的速度为每秒2个单位,△ABC放大的同时高AD也随之放大,当以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切,求t的值和此时C点的坐标.
【答案】(1)E(0, 4);(2)t=或t=1或t=
;(3)当t=1, C(11,0)
【解析】
(1) 首先求出直线AB的解析式, 即可得出结论;
(2) 先求出BE=5, 进而分别利用①当BE=BP时,②当EB=EP时,③当PB=PE时, 得出的值即
可;
(3) 首先得出△PGF∽△POE, 再利用勾股定理得, 进而求出t的值以及C点坐标.
解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=6,
∵AB=10,
∴AD=8,
∴A(3,8),
设直线AB的解析式为:y=kx+b,则,
解得:,
∴直线AB的解析式为:y=x+4,
∴E(0,4),
故答案为:0,4;
(2)∵B(﹣3,0),E(0,4)
∴BE=5,
当△BPE是等腰三角形有三种情况:
①当BE=BP时,3+3t=5,解得:t=;
②当EB=EP时,3t=3,解得:t=1;
③当PB=PE时,
∵PB=PE,AB=AC,∠ABC=∠PBE,
∴∠PEB=∠ACB=∠ABC,
∴△PBE∽△ABC,
∴=
,
∴=
,解得:t=
,
综上:t=或t=1或t=
;
(3)由题意得:C(9+2t,0),
∴BC=12+2t,BD=CD=6+t,OD=3+t,
设F为EP的中点,连接OF,作FH⊥AD,FG⊥OP,
∵FG∥EO,
∴△PGF∽△POE,
∴PG=OG=t,FG=
EO=2,
∴F(t,2),
∴FH=GD=OD﹣OG=3+t﹣t=3﹣
t,
∵⊙F与动线段AD所在直线相切,FH=EP=3﹣
t,
在Rt△EOP中:EP2=OP2+EO2
∴4(3﹣t)2=(3t)2+16
解得:t1=1,t2=﹣(舍去),
∴当t=1时,⊙F与动线段AD所在直线相切,此时C(11,0).

【题目】某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时,已列表、描点并画出了图象的一部分.
x | … | ﹣4 | ﹣3.5 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 4 | … |
y | … | ﹣ | ﹣ | 0 | ﹣ | ﹣ | ﹣ | … |
(1)请补全函数图象;
(2)方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 ;
(3)观察图象,写出该函数的两条性质.