Question

如图所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O．求∠BCD的度数．

Answer 1

分析：由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC（即BD）的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．

解答：解：过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF，
设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF²+BF²=AB²，
即2AF²=a²（AF=BF），
∴AF²=

a2

2

，
∴DE²=

a2

2

，
又BC²=AB²+AC²=2AB²=2a²，
由于BC=DB，
∴在Rt△BED中，

DE2

DB2

=

DE2

BC2

=

a2 2

2a2

=

1

4

，
∴

DE

DB

=

1

2

，
从而∠EBD=30°（直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理）．
在△CBD中，∴∠BCD=

1

2

(180°-∠EBD)=75°．

点评：本题考查了梯形及直角三角形的性质，难度一般，关键是通过添辅助线可构造直角三角形．