Question

如图所示，ABCD是矩形，E在CD上，F在BC上，∠AEF=90°．
求证：
（1）△ADE∽△ECF；
（2）AE•EC=EF•AD．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的每一个角都是直角可得∠C=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF，然后利用两组角对应相等，两三角形相似证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE∽△ECF；

（2）∵△ADE∽△ECF（已证），
∴

AE

EF

=

AD

EC

，
∴AE•EC=EF•AD．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的每一个角都是直角的性质，根据同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF是解题的关键，也是本题的突破口．