Question

【题目】一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：
（1）桥拱半径
（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=4m，

∴AD=8m，

利用勾股定理可得：

AO2﹣（OC﹣CD）2=8×8，

解得OA=10（m）

（2）解：设河水上涨到EF位置（如上图所示），

这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），

∴EM= EF=6m，

连接OE，

则有OE=10m，

OM= =8（m）

OD=OC﹣CD=10﹣4=6（m），

OM﹣OD=8﹣6=2（m）．

【解析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．（2）已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的推论的相关知识，掌握推论1：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧C、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等．