Question

如图，直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式ax²+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；
（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标代入直线解析式计算即可求出m的值，把点A、B的坐标代入抛物线，求出b、c的值，即可得解；
（2）根据图形，找出直线在抛物线上方的部分的x的取值范围即可；
（3）设直线AB与y轴的交点为D，求出点D的坐标，再求出点C的坐标，然后根据S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD，列式进行计算即可得解．

解答：（1）解：∵直线y=x+m经过A点，
∴当x=2时，y=0，
∴m+2=0，
∴m=-2，
∵抛物线y=x²+bx+c过A（2，0），B（5，3），
∴

4+2b+c=0 25+5b+c=3

，
解得

b=-6 c=8

，
∴抛物线的解析式为y=x²-6x+8；

（2）由图可知，不等式ax²+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5；

（3）解：设直线AB与y轴交于D，
∵A（2，0）B（5，3），
∴直线AB的解析式为y=x-2，
∴点D（0，-2），
由（1）知C（0，8），
∴S_△BCD=

1

2

×10×5=25，
∵S_△ACD=

1

2

×10×2=10，
∴S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=25-10=15．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与不等式组的解的关系，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．