题目内容

【题目】如图,已知AB=12,点C,DAB上,且AC=DB=2,点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰RtAPE和等腰RtPBF,连接EF,取EF的中点G,①△EFP的外接圆的圆心为点G;②四边形AEFB的面积不变;③EF的中点G移动的路径长为4;④△EFP的面积的最小值为8.以上说法中正确的有_____

【答案】①③

【解析】试题解析:如图

分别延长AE、BF交于点H.

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,

∴∠A=∠FPB=45°,∠B=∠EPA=45°,

∴AH∥PF,BH∥PE,∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°,

∴四边形EPFH为平行四边形,

∴EFHP互相平分.

∵GEF的中点,

∴G也为PH中点,

即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,

∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.

∵CD=12-2-2=8,

∴MN=4,即G的移动路径长为4.

故③EF的中点G移动的路径长为4,正确;

∵GEF的中点,∠EPF=90°,

∴①△EFP的外接圆的圆心为点G,正确.

∴①③正确.

∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),易证∠EPF=90°,所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp=x,则四边形面积S=

∴AP不断增大,

∴四边形的面积S也会随之变化,故②错误.

④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,

∠EPF=90°,

AP=PE,BP=PF,

AP=AC=2时,即PE=,PF=5

SPEF最小=PEPF=5,故④错误.

故答案为:①③.

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