题目内容
【题目】如图,已知AB=12,点C,D在AB上,且AC=DB=2,点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,连接EF,取EF的中点G,①△EFP的外接圆的圆心为点G;②四边形AEFB的面积不变;③EF的中点G移动的路径长为4;④△EFP的面积的最小值为8.以上说法中正确的有_____.
【答案】①③
【解析】试题解析:如图
,
分别延长AE、BF交于点H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,
∴∠A=∠FPB=45°,∠B=∠EPA=45°,
∴AH∥PF,BH∥PE,∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°,
∴四边形EPFH为平行四边形,
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点,
∴G也为PH中点,
即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12-2-2=8,
∴MN=4,即G的移动路径长为4.
故③EF的中点G移动的路径长为4,正确;
∵G为EF的中点,∠EPF=90°,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G,正确.
∴①③正确.
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),易证∠EPF=90°,所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp=x,则四边形面积S=,
∴AP不断增大,
∴四边形的面积S也会随之变化,故②错误.
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,
∠EPF=90°,
AP=PE,BP=PF,
当AP=AC=2时,即PE=,PF=5,
S△PEF最小=PEPF=5,故④错误.
故答案为:①③.