题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,图形W在坐标轴上的投影长度定义如下:设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.若|x1﹣x2|的最大值为m,则图形W在x轴上的投影长度lx=M;若|y1﹣y2|的最大值为n,则图形W在y轴上的投影长度ly=n.如图1,图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2;在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4.
(1)已知点A(3,3),B(4,1).如图2所示,若图形W为△OAB,则lx ,ly .
(2)已知点C(4,0),点D在直线y=2x+6上,若图形W为△OCD.当lx=ly时,求点D的坐标.
(3)若图形W为函数y=x2(a≤x≤b)的图象,其中0≤a<b.当该图形满足lx=ly≤1时,请直接写出a的取值范围.
【答案】(1)4;3;(2)(﹣,)或(﹣10,﹣14);(3)0≤a<.
【解析】
(1)确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标,于是可求得问题的答案;
(2)过点P作PD⊥x轴,垂足为P.设D(x,2x+6),则PD=2x+6.PC=4-x,然后依据lx=ly,列方程求解即可;
(3)设A(a,a2)、B(b,b2).分别求得图形在y轴和x轴上的投影,由lx=ly可得到b+a=1,然后根据0≤a<b可求得a的取值范围.
解:(1)∵A(3,3),
∴点A在y轴上的正投影的坐标为(0,3).
∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3.
∵B(4,1),
∴点B在x轴上的正投影的坐标为(4,0).
∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4.
故答案为:4;3.
(2)如图1所示;过点P作PD⊥x轴,垂足为P.
设D(x,2x+6),则PD=2x+6.
∵PD⊥x轴,
∴P(x,0).
∴PC=4﹣x.
∵lx=ly,
∴2x+6=4﹣x,解得;x=﹣.
∴D(﹣,).
如图2所示:过点D作DP⊥x轴,垂足为P.
设D(x,2x+6),则PD=﹣2x﹣6.
∵PD⊥x轴,
∴P(x,0).
∴PC=4﹣x.
∵lx=ly,
∴﹣2x﹣6=4﹣x,解得;x=﹣10.
∴D(﹣10,﹣14).
综上所述,点D的坐标为(﹣,)或(﹣10,﹣14).
(3)如图3所示:
设A(a,a2)、B(b,b2).则CE=b﹣a,DF=b2﹣a2=(b+a)(b﹣a).
∵lx=ly,
∴(b+a)(b﹣a)=b﹣a,即(b+a﹣1)(b﹣a)=0.
∵b≠a,
∴b+a=1.
又∵0≤a<b,
∴a+a<1,
∴0≤a<.
【题目】某超市准备购进甲、乙两种品牌的文具盒,甲、乙两种玩具盒的进价和售价如下表,预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌玩具盒数量x(个)之间的函数关系如图所示.
甲 | 乙 | |
进价(元) | 15 | 30 |
售价(元) | 20 | 38 |
(1)y与x之间的函数关系式是 ;
(2)若超市准备用不超过6000元购进甲、乙两种文具盒,则至少购进多少个甲种文具盒?
(3)在(2)的条件下,写出销售所得的利润W(元)与x(个)之间的关系式,并求出获得的最大利润.