题目内容
已知:如图所示,在△ABC中,BC=100,边BC上的高为50.在这个三角形内有一个内接矩形PQRS.
(1)若矩形的长PQ与宽PS的比是3:1,求这个矩形的长与宽;
(2)当这个矩形面积最大时,它的长与宽各是多少?
(1)若矩形的长PQ与宽PS的比是3:1,求这个矩形的长与宽;
(2)当这个矩形面积最大时,它的长与宽各是多少?
分析:(1)设矩形的长PQ=x,再根据相似三角形的判定定理得出△APQ∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例可用x表示出AE及DE的长,再根据长PQ与宽PS的比是3:1即可得出x的值,故可得出结论;
(2)根据(1)中用x表示出的矩形的长与宽可得出矩形面积的表达式,故可得出它的长与宽.
(2)根据(1)中用x表示出的矩形的长与宽可得出矩形面积的表达式,故可得出它的长与宽.
解答:解:(1)设矩形的长PQ=x,
∵PQ∥BC,BC=100,边BC上的高为50,
∴△APQ∽△ABC,
∴
=
,即
=
,解得AE=
x,
∴DE=PS=50-
x,
∵矩形的长PQ与宽PS的比是3:1,
∴3(50-
x)=x,解得x=60,
∴PQ=60,PS=20;
(2)∵由(1)知PQ=x,PS=50-
x,
∴S矩形=PQ•PS=x•(50-
x)=-
x2+50x(0<x<100),
当x=-
=-
=50时,这个矩形面积最大,
∵x=50在定义域内,
∴当x=50时,这个矩形面积最大,
∴此时PQ=50,PS=50-
×50=25.
∵PQ∥BC,BC=100,边BC上的高为50,
∴△APQ∽△ABC,
∴
AE |
AD |
PQ |
BC |
AE |
50 |
x |
100 |
1 |
2 |
∴DE=PS=50-
1 |
2 |
∵矩形的长PQ与宽PS的比是3:1,
∴3(50-
1 |
2 |
∴PQ=60,PS=20;
(2)∵由(1)知PQ=x,PS=50-
1 |
2 |
∴S矩形=PQ•PS=x•(50-
1 |
2 |
1 |
2 |
当x=-
b |
2a |
50 | ||
2×(-
|
∵x=50在定义域内,
∴当x=50时,这个矩形面积最大,
∴此时PQ=50,PS=50-
1 |
2 |
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.
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