Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ax（a＞0，且a≠1）．
（1）当a=e，x取一切非负实数时，若 ，求b的范围；
（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=e时，f（x）=x﹣ex，

原题分离参数得 恒成立，

令g（x）= x2+x﹣ex，g′（x）=x+1﹣ex，g″（x）=1﹣ex＜0，

故g′（x）在[0，+∞）递减，g′（x）＜g′（0）=0，

故g（x）在[0，+∞）递减，

g（x）≤g（0）=﹣1，

故b≥﹣1；

（2）解：f'（x）=1﹣axlna，

①当0＜a＜1时，ax＞0，lna＜0，

所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上为单增函数，无极大值；

②当a＞1时，设方程f'（x）=0的根为t，

则有 ，即 ，

所以f（x）在（﹣∞，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，

所以f（x）的极大值为 ，

即 ，因为a＞1，所以 ，

令 则 ，

设h（x）=xlnx﹣x，x＞0，则 ，

令h'（x）=0，得x=1，

所以h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

所以h（x）得最小值为h（1）=﹣1，

即g（a）的最小值为﹣1，

此时a=e．

【解析】（1）问题转化为 恒成立，令g（x）= x2+x﹣ex ， 根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．