题目内容

【题目】已知椭圆Γ: 经过点 ,且离心率为
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且与椭圆Γ相交于不同的两点A,B,求|AB|的最大值.

【答案】
(1)解:将 代入椭圆方程,

由椭圆的离心率e= =

解得:a=2,b=1,

∴椭圆Γ的方程为


(2)解:当直线l垂直于x轴时,由直线l与圆O:x2+y2=1相切,

可知直线l的方程为x=±1,易求

当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,

由直线l与圆O:x2+y2=1相切,得 ,即m2=k2+1,

将y=kx+m代入 ,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

=

又因为m2=k2+1,

所以

当且仅当 ,即 时等号成立,

综上所述,|AB|的最大值为2.


【解析】(1)将E代入椭圆方程,根据椭圆的离心率公式,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨,根据基本不等式的性质即可求得丨AB丨的最大值.

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