题目内容
【题目】已知椭圆Γ: 经过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且与椭圆Γ相交于不同的两点A,B,求|AB|的最大值.
【答案】
(1)解:将 代入椭圆方程,
,
由椭圆的离心率e= =
,
解得:a=2,b=1,
∴椭圆Γ的方程为
(2)解:当直线l垂直于x轴时,由直线l与圆O:x2+y2=1相切,
可知直线l的方程为x=±1,易求 .
当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,
由直线l与圆O:x2+y2=1相切,得 ,即m2=k2+1,
将y=kx+m代入 ,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ,
,
=
,
又因为m2=k2+1,
所以 ,
当且仅当 ,即
时等号成立,
综上所述,|AB|的最大值为2.
【解析】(1)将E代入椭圆方程,根据椭圆的离心率公式,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨,根据基本不等式的性质即可求得丨AB丨的最大值.

练习册系列答案
相关题目