题目内容
【题目】某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．
（实验操作）取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
ax2+bx+3 | … | 0 | 3 | 4 | … |
（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．（观察猜想）实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…
（2）请你也提出一个合理的猜想： （验证猜想）我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．
【答案】（1）3，0；（2）当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；（3）甲的说法不正确，反例见解析，乙的说法正确，见解析
【解析】
（1）通过解方程组求得a、b的值．
（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；
（3）举出反例即可判断．
解：（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；
当x＝1时，a+b+3＝4．
可得方程组
．
解得：
．
当x＝2时，ax2+bx+3＝3；
当x＝3时，ax2+bx+3＝0．
故答案是：3；0；
（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；
故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；
（3）甲的说法不正确．
举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．
乙的说法正确．
证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
∵（x﹣1）2≥0．
∴﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．
