Question

如图，已知中，，，，是边上的中点，是边上的点（不与端点重合），是边上的点，且∥，延长与直线相交于点，点是延长线上的点，且，联结，设，.

（1）求关于的函数关系式及其定义域；
（2）联结，当以为半径的和以为半径的外切时，求的正切值；
（3）当与相似时，求的长.

Answer 1

（1）∵∥，∴，
∵，，，∴，
∵是边上的中点，∴，
∵，，∴，∴.
（2）∵以为半径的和以为半径的外切，
∴，又，∴，
∴， 又，∴，
∵，∴，∴，
又，∴≌， ∴，
∵，∴，∴，
∵，，是边上的中点，∴，
∵∥，∴，∴，∴，
（3）∵，当与相似时，
①若时，过点作，垂足为点.
∴，∴，∴，
又，∴.
②若时，过点作，垂足为点.
∴，∴，∴，
又，∴.
综上所述，当与相似时，的长为2或.

本题主要考核一次函数解析式和定义域、三角函数和相似三角形的判定和性质