Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，DE＝DF，M是EF的中点．

（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点F在直线BC上．

（2）如图2，在（1）的条件下，当CM＝CF时，求证：∠CFM＝22.5°

（3）如图3，当点E在BC上时，若CM＝2，则BE的长为　 　（直接写出结果）（注：等腰直角三角形三边之比为1：1：）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2

【解析】

（1）根据四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，利用SAS证明△ADE≌△CDF即可；

（2）作EN∥CM交BC于N，根据M是EF的中点得CM是△EFN的中位线，可证得△BEN是等腰直角三角形，利用外角的性质即可求证；

（3）过点F作FG⊥BC于G，FQ⊥AD于Q，过点E作EH⊥AD于H，则四边形CGQD为矩形，EH＝AB＝CD，作FN∥CM交CG于N，可根据AAS证明△QDF≌△HED，可得矩形CGQD是正方形，连接DM、GM，则DM是Rt△EDF的中线、GM是Rt△EGF的中线，可根据SSS证明△CMD≌△CMG，得到△NGF是等腰直角三角形，即可求出结果.

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝90°，

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴∠A＝∠DCF＝90°，

∴点F在直线BC上；

（2）证明：作EN∥CM交BC于N，如图2所示：

∵M是EF的中点，EN∥CM，

∴CM是△EFN的中位线，∠BCM＝∠BNE，

∴CN＝CF，由（1）得：△ADE≌△CDF，

∴AE＝CF，

∴AE＝CN，

∴BE＝BN，

∴△BEN是等腰直角三角形，

∴∠BNE＝45°，

∴∠BCM＝45°，

∵CM＝CF，

∴∠CMF＝∠CFM＝∠BCM＝22.5°；

（3）解：过点F作FG⊥BC于G，FQ⊥AD于Q，则四边形CGQD为矩形，

过点E作EH⊥AD于H，则EH＝AB＝CD，

作FN∥CM交CG于N，如图3所示：

∵∠EDF＝90°，

∴∠HDE+∠QDF＝90°，

∵∠HDE+∠HED＝90°，

∴∠QDF＝∠HED，

在△QDF和△HED中，，

∴△QDF≌△HED（AAS），

∴EH＝DQ，

∴DQ＝CD，

∴矩形CGQD是正方形，

∴CG＝BC，

∵M是EF的中点，FN∥CM，

∴CM是△ENF的中位线，

∴∠GCM＝∠GNF，NF＝2CM＝4，CE＝CN，

∴BE＝NG，

连接DM、GM，则DM是Rt△EDF的中线、GM是Rt△EGF的中线，

∴DM＝EF，GM＝EF，

∴DM＝GM，

在△CMD和△CMG中， ，

∴△CMD≌△CMG（SSS），

∴∠DCM＝∠GCM＝∠DCG＝45°，

∴∠GNF＝45°，

∴△NGF是等腰直角三角形，

∴NG＝NF＝，

故答案为：．