题目内容
(2013•闵行区三模)已知:如图1,A、B是⊙O上两点,OA=5,AB=8,C是
上任意一点,OC与弦AB相交于点D,过点C作CE⊥OB,交射线BO于点E,CE的延长线交⊙O于点F,联结BC、BF、OF.
(1)如图2,当点E是线段BO的中点时,求弦BF的长;
(2)当点E在线段BO上时,设AD=x,
,求y关于x的函数解析式,并写出这个函数的定义域;
(3)当CD=1时,求四边形OCBF的面积.
AB |
(1)如图2,当点E是线段BO的中点时,求弦BF的长;
(2)当点E在线段BO上时,设AD=x,
S△BOD |
S△BOC |
(3)当CD=1时,求四边形OCBF的面积.
分析:(1)先求出OC=OB=OF=5,再根据CE⊥OB,点E是线段BO的中点,得出EC=EF,OE=OB,则四边形OCBF是菱形,从而得出BF=OC=5;
(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,求出AH,再求出OH=
=3,由AD=x,得BD=8-x,DH=|x-4|,利用勾股定理得OD=
=
,再根据
=
得:y=
;
(3)由CD=1,得OD=4,求出DH=
=
,BD=4-
或4+
,再证出△OBC≌△OBF,得出S四边形OCBF=2S△OBC,则当BD=4+
时,S△OBD=
BD•OH,
由CD=1,OD=4,得S△OBC=
S△OBD,S四边形OCBF=2S△OBC=
(4+
);当BD=4-
时,同理可得:S四边形OCBF=2S△OBC=
(4-
).
(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,求出AH,再求出OH=
OA2-AH2 |
OH2+DH2 |
9+(x-4)2 |
S△BOD |
S△BOC |
OD |
OC |
| ||
5 |
(3)由CD=1,得OD=4,求出DH=
OD2-OH2 |
7 |
7 |
7 |
7 |
1 |
2 |
由CD=1,OD=4,得S△OBC=
5 |
4 |
15 |
4 |
7 |
7 |
15 |
4 |
7 |
解答:解:(1)∵点C,B,F在⊙O上,
∴OC=OB=OF=5,
∵CE⊥OB,点E是线段BO的中点,
∴EC=EF,OE=OB,
∴四边形OCBF是菱形,
∴△OBC是等边三角形,
∴BF=OC=5;
(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,
∵OA=OB,OH⊥AB,
∴AH=
AB=
×8=4,
在Rt△OAH中,利用勾股定理,得:
OH=
=
=3,
由AD=x,得BD=8-x,DH=|x-4|,
在Rt△ODH中,利用勾股定理,得:
OD=
=
,
于是,△BOD与△BOC同高,
得:
=
=
,
即得:y=
,
这个函数的定义域为
≤x<8;
(3)由CD=1,得OD=4,
∴DH=
=
=
,
∴BD=4-
或4+
,
∵
,
∴△OBC≌△OBF,
∴S△OBC=S△OBF,
∴S四边形OCBF=2S△OBC,
当BD=4+
时,S△OBD=
BD•OH=
×3(4+
)=
(4+
),
由CD=1,OD=4,得S△OBC=
S△OBD=
(4+
),
∴S四边形OCBF=2S△OBC=
(4+
);
当BD=4-
时,
同理可得:S四边形OCBF=2S△OBC=
(4-
);
∴四边形OCBF的面积等于
(4-
)或
(4+
).
∴OC=OB=OF=5,
∵CE⊥OB,点E是线段BO的中点,
∴EC=EF,OE=OB,
∴四边形OCBF是菱形,
∴△OBC是等边三角形,
∴BF=OC=5;
(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,
∵OA=OB,OH⊥AB,
∴AH=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△OAH中,利用勾股定理,得:
OH=
OA2-AH2 |
52-42 |
由AD=x,得BD=8-x,DH=|x-4|,
在Rt△ODH中,利用勾股定理,得:
OD=
OH2+DH2 |
9+(x-4)2 |
于是,△BOD与△BOC同高,
得:
S△BOD |
S△BOC |
OD |
OC |
| ||
5 |
即得:y=
| ||
5 |
这个函数的定义域为
7 |
4 |
(3)由CD=1,得OD=4,
∴DH=
OD2-OH2 |
42-32 |
7 |
∴BD=4-
7 |
7 |
∵
|
∴△OBC≌△OBF,
∴S△OBC=S△OBF,
∴S四边形OCBF=2S△OBC,
当BD=4+
7 |
1 |
2 |
1 |
2 |
7 |
3 |
2 |
7 |
由CD=1,OD=4,得S△OBC=
5 |
4 |
15 |
8 |
7 |
∴S四边形OCBF=2S△OBC=
15 |
4 |
7 |
当BD=4-
7 |
同理可得:S四边形OCBF=2S△OBC=
15 |
4 |
7 |
∴四边形OCBF的面积等于
15 |
4 |
7 |
15 |
4 |
7 |
点评:此题考查了圆的综合,用到的知识点是勾股定理、垂经定理、四边形三角形的面积、全等三角形的判定与性质,关键是做出辅助线,综合利用有关定理列出算式进行计算.
练习册系列答案
相关题目