Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点M（ ， ），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是 上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OPOQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E． ①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点M作MH⊥OD于点H，

∵点M（ ， ），

∴OH=MH= ，

∴∠MOD=45°，

∵∠AOD=90°，

∴∠AOM=45°，

∵OM=AM，

∴∠OAM=∠AOM=45°，

∴∠AMO=90°，

∴∠AMB=90°；

（2）解：①∵OH=MH= ，MH⊥OD，

∴OM= =2，OD=2OH=2 ，

∴OB=4，

∵动点P与点B重合时，OPOQ=20，

∴OQ=5，

∵∠OQE=90°，∠POE=45°，

∴OE=5 ，

∴E点坐标为（5 ，0）

②∵OD=2 ，Q的纵坐标为t，

∴S= ．

如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，

∵OP=4，OPOQ=20，

∴OQ=5，

∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，

∴t=QF= ，

此时S= ；

如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，

∴OP=2 ，

∵OPOQ=20，

∴t=OQ=5 ，

此时S= ；

∴S的取值范围为5≤S≤10．

【解析】（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（ ， ），可得∠MOH=45°，OH=MH= ，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；（2）①由OH=MH= ，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OPOQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；②由OD=2 ，Q的纵坐标为t，即可得S= ，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．