Question

如图，，个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆、半圆、半圆……、半圆的半径分别是、、……、，则____________.

Answer 1

3

连接C₁A，C₂B，C₃C，
∵三半圆都与直线OC相切，
∴C₁A⊥OA，C₁B⊥OB，C₃C⊥OC，
又∵三个半圆依次与直线y= x相切并且圆心都在x轴上，
∴y= x的倾斜角是30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴O C₁="2" C₁A=2r₁，0 C₁="2" C₁B=2r₂="O" C₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0 C₃="2" C₃C="O" C₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∵r₁=1=30，∴r₂=3=31，
∴O C₁=2，0 C₁=2r₂=6r₁=6，0 C₃=18，
∴r₃=9=3²，
∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1，
则=3．