题目内容
【题目】已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），
∴
解得
∴抛物线的解析式是：y=
x2﹣
x+8．
（2）
解：如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，
设G点的坐标为（﹣1，n），
由翻折的性质，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，
∴点D的坐标是（2，4），
∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），
∴BC=
=
，
∴
，
在Rt△GDM中，
32+（4﹣n）2=20，
解得n=4±
，
∴G点的坐标为（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．
（3）
解：抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
解得
∴点F的坐标是（﹣1，4），点E的坐标是（1，0）．
②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
解得
∴点F的坐标是（﹣1，﹣4），点E的坐标是（﹣3，0）．
③当CE∥DF时，如图④，
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），
设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
解得
∴点F的坐标是（﹣1，12），点E的坐标是（3，0）．
综上，可得
抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
点F的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．
【解析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可．
（2）首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n），根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点D、点M的坐标各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根据勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．
（3）根据题意，分三种情况：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．
