Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得

解得

∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．

（2）

解：∵抛物线的解析式为y=x2+x+2，

∴点C的坐标是（0，2），

∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），

∴AD=2﹣（﹣1）=3，

∴△CAD的面积=，

∴△PDB的面积=3，

∵点B（4，0）、点D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或﹣3，

①当n=3时，

m2+m+2=3，

解得m=1或m=2，

∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．

②当n=﹣3时，

m2+m+2=﹣3，

解得m=5或m=﹣2，

∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．

综上，可得

点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．

（3）

解：如图1，

设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，

∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），

∴

解得

∴BC所在的直线的解析式是：y=x+2，

∵点P的坐标是（m，n），

∴点F的坐标是（4﹣2n，n），

∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣）2+，

∵n＞0，

∴当n=时，线段EG的最小值是：，

即线段EG的最小值是．

【解析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可．
（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或﹣3，再把它代入抛物线的解析式，求出x的值是多少，即可判断出点P的坐标．
（3）首先应用待定系数法，求出BC所在的直线的解析式是多少；然后根据点P的坐标是（m，n），求出点F的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG2的最小值是多少，即可求出线段EG的最小值．